ABSTRAK
Salah satu inovasi dalam pembelajaran matematika SD yang ditawarkan sekarang adalah dari pembelajaran yang mekanistik atau strukturalistik ke pembelajaran matematika yang PAKEM. Operasi bilangan bulat dalam pembelajaran Matematika SD/MI terdiri dari penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Dalam pelaksaannya, guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk menemukan (re-invent) konsep penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan bulat melalui praktek dengan menggunakan benda-benda kongkret yang skenarionya didisain sesuai dengan karakteristik PAKEM. Dengan demikian siswa diharapkan dapat menemukan sendiri
konsep operasi bilangan bulat dengan cara yang PAKEM.
Kata Kunci: PAKEM, pembelajaran, operasi bilangan bulat, penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, benda kongkret.
I. PENDAHULUAN
Beriringan dengan temuan-temuan baru dalam psikologi pendidikan, pendekatan dan strategi pembelajaran matematika di sekolah juga turut berubah. Mengajar tidak lagi dipandang sebagai penyampaian sejumlah informasi kepada peserta didik, tetapi harus mampu mendorong dan membimbing siswa untuk aktif mengkonstruksi sendiri pemahamannya. Selama proses pengkonstruksian konsep dan keterampilan matematika, kreativitas guru juga sangat penting bukan saja yang mengarah pada penemuan konsep, tetapi juga kemampuan guru menciptakan suasana belajar yang menyenangkan. Dengan demikian, peningkatan kualitas pembelajaran merupakan aspek penting yang harus mendapat perhatian dari guru dan lembaga-lembaga terkait, baik yang berhubungan langsung maupun tidak langsung dengan pengembangan profesionalisme guru dan kegiatan belajar siswa di sekolah.
Salah satu program yang bertujuan meningkatkan kualitas pembelajaran di SD adalah CLCC (The Creating Learning Communities for Children). Program ini, yang merupakan program kerjasama dengan UNESCO dan UNICEF, memuat tiga komponen, yaitu (1) Community Participant (CP), School Based Management (SBM), dan Active, Joyful and Effective Learning (AJEL). Ketiga komponen tersebut dikembangkan dalam satu program yang saling berkaitan. Di Indonesia, AJEL dikenal dengan istilah PAKEM (Pembelajaran Aktif, Kreatif, Efektif, dan Menyenangkan). Dalam makalah ini akan dibahas pembelajaran Operasi Bilangan Bulat (Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian) di SD/MI dengan cara yang PAKEM.
Sebagaimana diketahui, bahwa konsep operasi bilangan bulat (interger) merupakan konsep yang paling dasar dan penting untuk memahami konsep matematika lebih lanjut di SMP dan SMA. Kegagalan dalam menanam konsep tersebut akan berakibat fatal bagi guru dan siswa. Fatal bagi guru antara lain berupa terhambatnya dalam penanaman konsep matematika lebih lanjut, dan fatal bagi siswa antara lain mereka sulit memahami konsep matematika yang lebih tinggi, bosan mempelajari matematika, tidak ingin mengikuti pelajaran matematika, dan bahkan membenci matematika.
II. PEMBAHASAN
Untuk beradaptasi dengan perkembangan kebutuhan masyarakat dan teknologi, pembelajaran matematika di SD/MI perlu terus ditingkatkan kualitasnya. Kita melihat dan merasakan bahwa informasi yang harus diketahui oleh manusia setiap hari begitu beraneka, baik dari segi kualitas maupun kuantitasnya, sehingga tidak mungkin kita memilih dan memahami sebagian kecilpun dari informasi tersebut tanpa memanfaatkan cara atau strategi tertentu untuk memperolehnya. Implikasinya di sekolah adalah, bahwa pembelajaran yang mekanistik yang didominasi dengan menghafal fakta-fakta dan rumus-rumus matematika harus segera ditinggalkan, karena di samping tidak menyenangkan siswa, juga akan menyebabkan lulusan "miskin" dalam menyerap informasi dan dalam pemecahan masalah. Demikian juga pembelajaran yang bersifat strukturalistik yang menekankan pada algoritma yang kaku, akan menyebabkan siswa tidak memiliki kreativitas dalam menghadapi masalah sehari-hari yang menantang. Salah satu cara pembelajaran yang mampu mengubah fenomena di atas adalah pembelajaran matematika di SD/MI dengan tingkat ke-PAKEM-an yang tinggi.
A. HAKEKAT PEMBELAJARAN PAKEM
Inti dari PAKEM adalah siswa bekerja dan mengalami. Siswa 'bekerja', menekankan pada belajar dengan berbuat (learning by doing). Semua siswa harus bekerja secara aktif mempraktekkan matematika dengan menggunakan benda-benda kongkret yang mudah diperoleh di sekitar sekolah. Perlunya benda-benda kongkret dalam belajar konsep matematika SD, antara lain dapat dikaji dari teori yang dikemukakan oleh William Brownell, Zoltan P. Dienes, Richard Skemp, dan Jerome S. Brunner (Karim, dkk., 1997:18 – 26).
Menurut Brownell, untuk mengembangkan pemahaman siswa tentang matematika adalah mempraktekkan matematika dengan menggunakan benda-benda kongkret yang mereka kenal, dan mempelajari matematika harus secara permanen atau terus menerus dalam waktu yang lama. Dienes mengemukakan, benda-benda kongkret yang digunakan siswa dalam praktek untuk mempelajari suatu konsep matematika sebaiknya bervariasi. Misalnya, bila guru mengenalkan konsep bilangan dua, guru hendaknya dapat menunjukkan dua pensil, dua sentul, dua kerikil, dua lidi, dan sejenisnya. Karena belajar secara PAKEM, semua siswa secara serentak juga harus menunjukkan benda-benda kongkret tersebut. Untuk menanamkan konsep operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat, semua siswa hendaknya mempraktekkannya dengan bermacam benda kongkret, seperti karton persegi dengan ukuran sisi 2 cm (atau boleh ukuran lainnya), kancing baju, atau tutup botol masing-masing dengan dua warna, misalnya merah dan putih.
karton persegi putih karton persegi merah
mewakili bilangan bulat mewakili bilangan bulat
positif negatif
Gambar 1
Pakar matematika dan psikolog Inggris Richard Skemp juga mendukung interaksi siswa dengan obyek-obyek fisik pada tahap awal mempelajari konsep matematika. Ia yakin bahwa pengalaman awal tersebut dapat menjadi dasar yang berharga untuk mempelajari matematika pada tingkat yang abstrak. Misalnya bilangan nol pada bilangan bulat, ditunjukkan dengan menindih karton persegi positif dengan karton persegi negatif (Gambar 2). Sifat komutatif perkalian dapat dipraktekkan oleh semua siswa dengan menyusun karton persegi, misalnya karton persegi yang menunjukan 2 x 3 dan 3 x 2 (Gambar 3).
Bilangan nol diperoleh dengan menindih satu lembar karton
persegi positif dengan satu lembar karton persegi negatif
Gambar 2
Susunan karton ini
menunjukkan 3 x 2
Susunan karton ini
menunjukkan 2 x 3
Gambar 3. Sifat komutatif 2 x 3 = 3 x 2 = 6
Identik dengan cara di atas, siswa dapat menyusun karton persegi untuk menunjukkan bahwa sifat komutatif tersebut juga berlaku pada operasi bilangan bulat negatif, sebagai berikut.
Susunan karton ini menunjukkan -3 x 2
(caranya memperolehnya,
lihat pada bagian B.3)
Susunan karton ini
menunjukkan 2 x (-3)
Gambar 4. Sifat komutatif 2 x (-3) = -3 x 2 = - 6
Psikolog kognitif Jerome S. Brunner, yakin bahwa siswa yang mempelajari matematika perlu secara langsung menggunakan bahan-bahan manipulatif berupa benda-benda kongkret yang dirancang khusus untuk diotak-atik oleh mereka dalam memahami konsep matematika. Melalui interaksi dengan benda fisik (benda kongkret) inilah siswa menemukan prosedur pemecahan masalah matematika yang pada gilirannya akan memperdalam pemahaman konsep yang sedang dipelajari. Brunner, yang dianggap sebagai tokoh metode pembelajaran penemuan (discovery method) itu, menyarankan agar pembelajaran matematika di SD dilaksanakan melalui tiga tahap sajian, yaitu enactive, iconic, dan symbolic. Ketiga tahapan ini harus dilaksanakan secara simultan dan kontinu.
Tahap-1 enactive : yaitu guru menggunakan benda-benda kongkret ketika melaksanakan modeling pembelajaran untuk menjelaskan konsep dan prosedur pemecahan masalah, dan semua siswa (dengan bimbingan guru) juga menggunakan benda-benda kongkret untuk mempraktekkan pengetahuan matematika yang sedang dipelajarinya. Untuk operasi bilangan bulat, dapat digunakan benda kongkret seperti disebutkan di atas, yaitu karton persegi dengan dua warna.
Tahap- 2 iconic : Pada tahap ini, guru melanjutkan sajian secara grafis atau gambar. Misal-nya, untuk operasi penjumlahan – 5 + 3, guru menggambarkan di papan tulis sebagai berikut.
Gambar 5. – 5 + 3. (Kongkretisasi perhitungannya akan dijelaskan pada bagian berikut).
Seperti yang telah disebutkan di atas, grafis atau gambar dapat juga berupa dot seperti yang dianjurkan oleh Reys et.al.(1998:163). Misalnya, 4 x 7 dapat digambarkan sebagai berikut.
●●●●●●●
●●●●●●●
●●●●●●●
●●●●●●●
Tahap-3 symbolic : Pada tahap ini, guru memperjelas hasil praktek di atas dengan mengguna-kan simbol. Pada contoh di atas, simbol yang digunakan adalah dengan menulis temuan dari praktek – 5 + 3 = – 2.
Siswa 'mengalami' menekankan bahwa untuk memahami konsep matematika secara sempurna, siswa harus mengkonstruksi sendiri pemahamannya melalui kolaborasi dalam kelompok belajar dan sharing dengan teman sebaya atau teman sekelasnya. Pentingnya kolaborasi (kerjasama dalam kelompok), dijelaskan oleh Johnson (2006:72) "Dengan bekerja sama, para siswa terbantu dalam menemukan persoalan, merancang rencana, dan mencari pemecahan masalah". Pada bagian lain Johnson (2006:164) menjelaskan "Kerja sama dapat menghilangkan hambatan mental akibat terbatasnya pengalaman dan cara pandang yang sempit"
Uraian di atas menunjukkan suatu cara atau strategi dalam aktivitas pembelajaran agar siswa aktif fisik dan mentalnya dan sekaligus menyenangkan. Selanjutnya As'ari (2006:21) menjelaskan, agar siswa aktif, hendaknya (a) guru bersahabat dan bersikap terbuka, (b) guru mengajukan pertanyaan yang mengundang banyak jawaban siswa (c) guru memberikan umpan balik yang meningkatkan harga diri positif siswa, (d) guru merespon dan menghargai semua pendapat siswa, dan (e) guru secara aktif memfasilitasi siswa. Agar siswa kreatif, maka (a) guru menciptakan lingkungan belajar yang kreatif, (b) guru meminta siswa untuk menghasilkan karya atau menuangkan kreativitas, dan (c) guru menghargai dan memamerkan hasil karya semua siswa. Agar pembelajaran efektif, hendaknya (a) guru memperhatikan efisiensi waktu, (b) guru mengakomodasi gaya belajar audio, visual dan kinestetik, (c) guru memberikan tugas-tugas dengan panduan yang jelas, (d) guru memanfaatkan sumber belajar dan media pembelajaran dengan tepat, (e) guru mengelola kelas dengan baik, dan (f) kelas memiliki aturan main dan kesepakatan. Agar pembelajaran menyenangkan, maka (a) guru tampil dengan semangat, antusias dan gembira, (b) guru menciptakan suasana pembelajaran yang kondusif, dan (c) pembelajaran menyertakan humor.
Khusus mengenai berfikir kreatif, menurut Johnson (2006: 214 – 215) adalah sebuah kebiasaan dari fikiran yang dilatih dengan mengikut sertakan intuisi, menghidupkan imajinasi, mengungkapkan kemungkinan-kemungkinan baru, membuka sudut pandang yang menakjubkan, dan membangkitkan ide-ide yang tidak terduga. Berfikir kreatif merupakan aktifitas mental yang mencakup :
(1) Mengajukan pertanyaan,
(2) Mempertimbangkan informasi dan ide baru dengan cara yang luwes,
(3) Menemukan keterkaitan khususnya antara pendapat-pendapat yang berbeda,
(4) Mengaitkan berbagai hal dengan bebas,
(5) Menerapkan imaginasi pada semua situasi untuk menghasilkan sesuatu yang baru dan berbeda, dan
(6) Mendengarkan instuisi.
Dalam pelaksanaan pembelajaran yang PAKEM, guru perlu memperhatikan hal-hal berikut (Depdiknas, 2004: 15) :
(1) Memahami sifat siswa,
(2) Mengenal siswa secara individual,
(3) Memanfaatkan prilaku siswa dalam pengorganisasian belajar,
(4) Mengembangkan kemampuan berfikir kritis, kreatif, dan kemampuan memecahkan masalah,
(5) Mengembangkan ruang kelas sebagai lingkungan belajar yang menarik,
(6) Memanfaatkan lingkungan sebagai sumber balajar,
(7) Memberikan feedback yang adil, dan
(8) Membedakan antara keaktifan fisik dan mental.
B. LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARANNYA
Kurikulum KTSP menempatkan materi operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat di SD kelas IV semester 2, dan pengembangannya dilanjutkan di kelas V dan VI, dengan Standar Kompetensi (SK) nya sebagai berikut.
(1) Menjumlahkan dan mengurangkan bilangan bulat
(2) Melakukan operasi hitung bilangan bulat dalam pemecahan masalah
Berikut ini disajikan contoh langkah kegiatan inti***) pembelajaran bilangan bulat yang prakteknya dilaksanakan oleh siswa dengan bimbingan guru.
1. Penjumlahan
(a) Andaikan yang akan dijumlahkan adalah 7 + (- 9) = . . .
Semua siswa secara individual atau kelompok mempraktekkan seperti yang dilakukan (diperagakan) guru di depan kelas.
Semua siswa meletakkan 7 lembar karton persegi putih di atas mejanya masing-masing, dilanjutkan dengan meletakkan 9 lembar karton merah di sampingnya.
Semua siswa menindih karton persegi positif dengan karton persegi negatif sebagai berikut.
Gambar 6
Kepada siswa sudah dijelaskan sebelumnya bahwa yang ditindih nilainya nol. Ternyata yang tidak tertindih ada dua karton merah, sehingga nilainya – 2. Dengan demikian 7+(- 9) = -2.
(b) Hitunglah - 3 + 8 = . . .
Semua siswa secara individual atau kelompok mempraktekkan seperti yang dilakukan (diperagakan) guru di depan kelas.
Semua siswa meletakkan 3 lembar karton persegi merah di atas mejanya masing-masing, dilanjutkan dengan meletakkan 8 lembar karton putih di sampingnya.
Gambar 7
Semua siswa menindih karton persegi positif dengan karton persegi negatif sebagai berikut.
Gambar 8
Kepada siswa sudah dijelaskan sebelumnya bahwa yang ditindih nilainya nol. Ternyata yang tidak tertindih ada lima karton persegi putih, sehingga nilainya 5. Dengan demikian -3+8 = 5.
2. Pengurangan
Pengurangan dijelaskan dengan dua cara. Cara pertama dengan cara mengambil karton persegi (positif atau negatif, sesuai dengan soal), dan cara kedua dengan cara menambah dengan lawan (invers aditif) bilangan yang dikurangi. Invers aditif bilangan bulat harus sudah dijelaskan sebelumnya, yaitu :
1 inversnya – 1, dan 1 + (– 1) = 0
10 inversnya – 10, dan 10 + (– 10) = 0
– 20 inversnya 20, dan – 20 + 20 = 0
0 tidak mempunyai invers.
Contoh.
(a) Hitunglah – 5 – (– 4) = . . .
Semua siswa secara individual atau kelompok mempraktekkan seperti yang dilakukan (diperagakan) guru di depan kelas.
Semua siswa meletakkan 5 lembar karton persegi merah di atas mejanya masing-masing.
Gambar 9
Semua siswa mengambil empat lembar karton persegi negatif (karena dikurang dengan –4) sebagai berikut.
Yang di bawah ini karton yang diambil di atas dan dipindahkan ketempat lain.
Gambar 10
Ternyata yang tinggal (sisa) satu karton merah. Sehingga – 5 – (– 4) = – 1.
(b) Hitunglah 3 – (– 6) = . . .
Semua siswa meletakkan 3 lembar karton persegi putih di atas mejanya masing-masing, kemudian siswa diminta mengambil 6 karton negatif.
Gambar 11
Karena tidak ada karton negatif yang akan diambil, harus disediakan 6 pasangan karton (karton positif dan negatif yang ditindih, sebanyak yang akan diambil/dalam kurung), sebagai berikut.
Gambar 12
Semua siswa mengambil 6 lembar karton persegi negatif, sehingga yang tertinggal (sisanya) sebagai berikut.
Gambar 13
Ternyata yang tinggal (sisa) sembilan karton putih. Sehingga 3 – (– 6) = 9.
(c) Hitunglah – 2 – (– 7) = . . .
Semua siswa meletakkan 2 lembar karton persegi merah di atas mejanya masing-masing, kemudian siswa diminta mengambil 7 karton merah.
Gambar 14
Karena tidak cukup karton merah yang akan diambil, harus disediakan 7 pasangan karton (karton positif dan negatif yang ditindih, sebanyak yang akan diambil/dalam kurung), sebagai berikut.
Gambar 15
Semua siswa mengambil 7 lembar karton persegi negatif, sehingga yang tertinggal (sisanya) sebagai berikut.
Gambar 16
Ternyata yang tinggal (sisa) nya 5 lembar karton putih, dan dua pasangan yang tertindih. Karena yang tertindih nilainya nol, maka nilai setelah proses pengambilan adalah 5. Sehingga – 2 – (– 7) = 5.
3. Perkalian
Siswa dapat menemukan sendiri melalui praktek hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif (semua siswa mempraktekkannya dengan bimbingan guru).
(a) (b) (c)
(d)
Gambar 17
Susunan karton pada gambar 17(a) menunjukkan 2 x (– 1) dan ternyata nilainya – 2; susunan karton pada gambar 17(b) menunjukkan 2 x (– 2) dan ternyata nilainya – 4; susunan karton pada gambar 17(c) menunjukkan 2 x (– 3) dan ternyata nilainya – 6; dan susunan karton pada gambar 17(d) menunjukkan 2 x (– 4) dan ternyata nilainya – 8. Dari percobaan di atas diperoleh sebagai berikut.
2 x (– 1) = – 2
2 x (– 2) = – 4
2 x (– 3) = – 6
2 x (– 4) = – 8
Jadi, bilangan bulat positif dikali dengan bilangan bulat negatif, hasilnya bilangan bulat negatif.
De Walle (1990 : 350) memberi makna tentang perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif dengan istilah "mengambil yang positif dari nol". -2 x 2 berarti ambil 2 duaan yang positif dari nol; -2 x 3 berarti ambil 2 tigaan yang positif dari nol.
(a)
(b)
Gambar 18
Susunan karton di atas keduanya bernilai nol. Pada gambar 18(a), ambil 2 duaan yang positif sehingga hasilnya seperti gambar 19(a) yaitu – 4; dan pada gambar 19(b) ambil 3 duaan yang positif sehingga hasilnya seperti ganbar 19(b) yaitu – 6.
(a)
(b)
Gambar 19
Dengan cara yang sama untuk - 3 x 4, ambillah 3 buah empatan yang positif, sehingga hasilnya – 12, seperti pada gambar 20
Hasil -3 x 4 setelah diambil
3 buah empatan yang positif.
Gambar 20
Percobaan di atas yang dilaksanakan oleh siswa dengan bimbingan guru, dapat ditulis kembali sebagai berikut.
- 2 x 2 = - 4
- 2 x 3 = - 6
- 3 x 4 = - 12, dst
Nampak bahwa bilangan bulat negatif dikali dengan bilangan bulat positif hasilnya bilangan bulat negatif.
Makna perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif adalah "mengambil yang negatif dari nol". -2 x -2 berarti ambil 2 duaan yang negatif dari nol; -2 x -3 berarti ambil 2 tigaan yang negatif dari nol.
(a)
(b)
Gambar 21
Pada gambar 21(a), ambil 2 duaan yang negatif sehingga hasilnya seperti gambar 22(a) yaitu 4; dan pada gambar 21(b) ambil 3 duaan yang negatif sehingga hasilnya seperti ganbar 22(b) yaitu 6.
(a)
(b)
Gambar 22
Dengan cara yang sama untuk - 3 x -4, ambillah 3 buah empatan yang negatif, sehingga hasilnya 12, seperti pada gambar 23.
Hasil -3 x -4 setelah diambil 3 buah empatan yang negatif.
Gambar 23
Percobaan di atas yang dilaksanakan oleh siswa dengan bimbingan guru, dapat ditulis kembali sebagai berikut.
- 2 x -2 = 4
- 2 x -3 = 6
- 3 x -4 = 12, dst
Nampak bahwa bilangan bulat negatif dikali dengan bilangan bulat negatif hasilnya bilangan bulat positif.
Sekarang perhatikan pola perkalian berikut.
4 x –2 = – 8
3 x –2 = – 6
2 x –2 = – 4
1 x –2 = – 2
Hasilnya selalu ditambah dengan –2, sehingga kalau polanya diteruskan lagi diperoleh :
4 x –2 = – 8
3 x –2 = – 6
2 x –2 = – 4
1 x –2 = – 2
0 x –2 = 0
–1 x –2 = 2
–2 x –2 = 4
–3 x –2 = 6
......................
......................
Pola di atas menunjukkan juga bahwa bilangan bulat negatif dikali dengan bilangan bulat negatif hasilnya bilangan bulat positif.
4. Pembagian
Pembagian dapat dipandang sebagi kebalikan dari perkalian. Misalnya :
4 x 2 = 8, dapat ditulis 8 : 2 = 4.
- 4 x 2 = - 8, dapat ditulis (-8) : 2 = - 4.
4 x (-2) = - 8, dapat ditulis (-8) : (-2) = 4.
- 4 x (-2) = 8, dapat ditulis 8 : (-2) = - 4.
Dari contoh-contoh tersebut dan pola perkalian di atas, diharapkan siswa dapat mengambil kesimpulan tentang pembagian dua bilangan bulat.
Untuk mendisain pembelajaran yang PAKEM yang memenuhi hakekat PAKEM seperti disebutkan di atas, perlu persiapan media dan sumber belajar serta asesmennya.
Ada beberapa hal yang perlu diperiksa pencapaiannya, yaitu:
1. Cara menggunakan benda kongkret dalam proses operasi bilangan bulat.
2. Kreativitas dalam aktivitas dalam penggunaan benda kongkret, dan
3. Strategi menggunakan benda kongkret untuk menerapkan sifat operasi bilangan bulat dalam komputasi mental.
III. PENUTUP
A. Simpulan
Dengan mengimplementasikan pendekatan PAKEM, guru memberikan kesempatan kepada siswa dengan pelaksanaannya berbentuk acted-out mathematics yang memungkinkan siswa berpartisipasi dan bekerja sehingga dapat mengembangkan ide-ide matematika, dan akhirnya diharapkan mereka menemukan konsep perkalian bilangan bulat.
B. Saran
Berdasarkan uraian dan simpulan di atas, diajukan beberapa saran berikut.
(1) Pendekatan pembelajaran matematika secara konvensional yang menuntut siswa menghafal aksioma, definisi, teorema, serta prosedur penggunaan teorema tersebut, sudah saatnya diminimalkan, dan diganti dengan strategi dan pendekatan yang dapat mengarahkan siswa menjadi aktif, kreatif, efektif, dan menyenangkan.
(2) Pembelajaran operasi bilangan bulat dapat dilaksanakan dalam bentuk acted-out mathematics dengan menggunakan benda kongkret (misalnya karton persegi dengan dua warna merah dan putih), sehingga memberikan kesempatan kepada siswa untuk menemukan (re-invent) konsepnya melalui praktek (do-it). Untuk ini, diharapkan para guru SD dapat melaksanakan pembelajarannya melalui pendekatan PAKEM.
DAFTAR RUJUKAN
As'ari, A. R. 2006. Hand Out Workshop PAKEM (tidak diterbitkan)
Depdiknas. 2004. "Hakekat Kurikulum, Pengembangan Silabi, dan Rencana Pembelajaran", dalam Materi Pelatihan Terintegrasi, Buku Matematika 3. Jakarta
Depdiknas. 2004. "Model-Model Pembelajaran Matematika", dalam Materi Pelatihan Terintegrasi, Buku Matematika 3. Jakarta
De Walle, John A. Van. Elementary School Mathematics : Teaching Developmentally. New York: Longman
Johnson, Elaine B. 2006. Contextual Teaching and Learning : What It Is and Why It's Here to Stay. California : Corwin Press, Inc.
Reys, Robert E., et. al. 1998. Helping Children Learn Mathematics. Boston, dll : Allyn and Bacon
Kata Kunci: PAKEM, pembelajaran, operasi bilangan bulat, penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, benda kongkret.
I. PENDAHULUAN
Beriringan dengan temuan-temuan baru dalam psikologi pendidikan, pendekatan dan strategi pembelajaran matematika di sekolah juga turut berubah. Mengajar tidak lagi dipandang sebagai penyampaian sejumlah informasi kepada peserta didik, tetapi harus mampu mendorong dan membimbing siswa untuk aktif mengkonstruksi sendiri pemahamannya. Selama proses pengkonstruksian konsep dan keterampilan matematika, kreativitas guru juga sangat penting bukan saja yang mengarah pada penemuan konsep, tetapi juga kemampuan guru menciptakan suasana belajar yang menyenangkan. Dengan demikian, peningkatan kualitas pembelajaran merupakan aspek penting yang harus mendapat perhatian dari guru dan lembaga-lembaga terkait, baik yang berhubungan langsung maupun tidak langsung dengan pengembangan profesionalisme guru dan kegiatan belajar siswa di sekolah.
Salah satu program yang bertujuan meningkatkan kualitas pembelajaran di SD adalah CLCC (The Creating Learning Communities for Children). Program ini, yang merupakan program kerjasama dengan UNESCO dan UNICEF, memuat tiga komponen, yaitu (1) Community Participant (CP), School Based Management (SBM), dan Active, Joyful and Effective Learning (AJEL). Ketiga komponen tersebut dikembangkan dalam satu program yang saling berkaitan. Di Indonesia, AJEL dikenal dengan istilah PAKEM (Pembelajaran Aktif, Kreatif, Efektif, dan Menyenangkan). Dalam makalah ini akan dibahas pembelajaran Operasi Bilangan Bulat (Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian) di SD/MI dengan cara yang PAKEM.
Sebagaimana diketahui, bahwa konsep operasi bilangan bulat (interger) merupakan konsep yang paling dasar dan penting untuk memahami konsep matematika lebih lanjut di SMP dan SMA. Kegagalan dalam menanam konsep tersebut akan berakibat fatal bagi guru dan siswa. Fatal bagi guru antara lain berupa terhambatnya dalam penanaman konsep matematika lebih lanjut, dan fatal bagi siswa antara lain mereka sulit memahami konsep matematika yang lebih tinggi, bosan mempelajari matematika, tidak ingin mengikuti pelajaran matematika, dan bahkan membenci matematika.
II. PEMBAHASAN
Untuk beradaptasi dengan perkembangan kebutuhan masyarakat dan teknologi, pembelajaran matematika di SD/MI perlu terus ditingkatkan kualitasnya. Kita melihat dan merasakan bahwa informasi yang harus diketahui oleh manusia setiap hari begitu beraneka, baik dari segi kualitas maupun kuantitasnya, sehingga tidak mungkin kita memilih dan memahami sebagian kecilpun dari informasi tersebut tanpa memanfaatkan cara atau strategi tertentu untuk memperolehnya. Implikasinya di sekolah adalah, bahwa pembelajaran yang mekanistik yang didominasi dengan menghafal fakta-fakta dan rumus-rumus matematika harus segera ditinggalkan, karena di samping tidak menyenangkan siswa, juga akan menyebabkan lulusan "miskin" dalam menyerap informasi dan dalam pemecahan masalah. Demikian juga pembelajaran yang bersifat strukturalistik yang menekankan pada algoritma yang kaku, akan menyebabkan siswa tidak memiliki kreativitas dalam menghadapi masalah sehari-hari yang menantang. Salah satu cara pembelajaran yang mampu mengubah fenomena di atas adalah pembelajaran matematika di SD/MI dengan tingkat ke-PAKEM-an yang tinggi.
A. HAKEKAT PEMBELAJARAN PAKEM
Inti dari PAKEM adalah siswa bekerja dan mengalami. Siswa 'bekerja', menekankan pada belajar dengan berbuat (learning by doing). Semua siswa harus bekerja secara aktif mempraktekkan matematika dengan menggunakan benda-benda kongkret yang mudah diperoleh di sekitar sekolah. Perlunya benda-benda kongkret dalam belajar konsep matematika SD, antara lain dapat dikaji dari teori yang dikemukakan oleh William Brownell, Zoltan P. Dienes, Richard Skemp, dan Jerome S. Brunner (Karim, dkk., 1997:18 – 26).
Menurut Brownell, untuk mengembangkan pemahaman siswa tentang matematika adalah mempraktekkan matematika dengan menggunakan benda-benda kongkret yang mereka kenal, dan mempelajari matematika harus secara permanen atau terus menerus dalam waktu yang lama. Dienes mengemukakan, benda-benda kongkret yang digunakan siswa dalam praktek untuk mempelajari suatu konsep matematika sebaiknya bervariasi. Misalnya, bila guru mengenalkan konsep bilangan dua, guru hendaknya dapat menunjukkan dua pensil, dua sentul, dua kerikil, dua lidi, dan sejenisnya. Karena belajar secara PAKEM, semua siswa secara serentak juga harus menunjukkan benda-benda kongkret tersebut. Untuk menanamkan konsep operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat, semua siswa hendaknya mempraktekkannya dengan bermacam benda kongkret, seperti karton persegi dengan ukuran sisi 2 cm (atau boleh ukuran lainnya), kancing baju, atau tutup botol masing-masing dengan dua warna, misalnya merah dan putih.
karton persegi putih karton persegi merah
mewakili bilangan bulat mewakili bilangan bulat
positif negatif
Gambar 1
Pakar matematika dan psikolog Inggris Richard Skemp juga mendukung interaksi siswa dengan obyek-obyek fisik pada tahap awal mempelajari konsep matematika. Ia yakin bahwa pengalaman awal tersebut dapat menjadi dasar yang berharga untuk mempelajari matematika pada tingkat yang abstrak. Misalnya bilangan nol pada bilangan bulat, ditunjukkan dengan menindih karton persegi positif dengan karton persegi negatif (Gambar 2). Sifat komutatif perkalian dapat dipraktekkan oleh semua siswa dengan menyusun karton persegi, misalnya karton persegi yang menunjukan 2 x 3 dan 3 x 2 (Gambar 3).
Bilangan nol diperoleh dengan menindih satu lembar karton
persegi positif dengan satu lembar karton persegi negatif
Gambar 2
Susunan karton ini
menunjukkan 3 x 2
Susunan karton ini
menunjukkan 2 x 3
Gambar 3. Sifat komutatif 2 x 3 = 3 x 2 = 6
Identik dengan cara di atas, siswa dapat menyusun karton persegi untuk menunjukkan bahwa sifat komutatif tersebut juga berlaku pada operasi bilangan bulat negatif, sebagai berikut.
Susunan karton ini menunjukkan -3 x 2
(caranya memperolehnya,
lihat pada bagian B.3)
Susunan karton ini
menunjukkan 2 x (-3)
Gambar 4. Sifat komutatif 2 x (-3) = -3 x 2 = - 6
Psikolog kognitif Jerome S. Brunner, yakin bahwa siswa yang mempelajari matematika perlu secara langsung menggunakan bahan-bahan manipulatif berupa benda-benda kongkret yang dirancang khusus untuk diotak-atik oleh mereka dalam memahami konsep matematika. Melalui interaksi dengan benda fisik (benda kongkret) inilah siswa menemukan prosedur pemecahan masalah matematika yang pada gilirannya akan memperdalam pemahaman konsep yang sedang dipelajari. Brunner, yang dianggap sebagai tokoh metode pembelajaran penemuan (discovery method) itu, menyarankan agar pembelajaran matematika di SD dilaksanakan melalui tiga tahap sajian, yaitu enactive, iconic, dan symbolic. Ketiga tahapan ini harus dilaksanakan secara simultan dan kontinu.
Tahap-1 enactive : yaitu guru menggunakan benda-benda kongkret ketika melaksanakan modeling pembelajaran untuk menjelaskan konsep dan prosedur pemecahan masalah, dan semua siswa (dengan bimbingan guru) juga menggunakan benda-benda kongkret untuk mempraktekkan pengetahuan matematika yang sedang dipelajarinya. Untuk operasi bilangan bulat, dapat digunakan benda kongkret seperti disebutkan di atas, yaitu karton persegi dengan dua warna.
Tahap- 2 iconic : Pada tahap ini, guru melanjutkan sajian secara grafis atau gambar. Misal-nya, untuk operasi penjumlahan – 5 + 3, guru menggambarkan di papan tulis sebagai berikut.
Gambar 5. – 5 + 3. (Kongkretisasi perhitungannya akan dijelaskan pada bagian berikut).
Seperti yang telah disebutkan di atas, grafis atau gambar dapat juga berupa dot seperti yang dianjurkan oleh Reys et.al.(1998:163). Misalnya, 4 x 7 dapat digambarkan sebagai berikut.
●●●●●●●
●●●●●●●
●●●●●●●
●●●●●●●
Tahap-3 symbolic : Pada tahap ini, guru memperjelas hasil praktek di atas dengan mengguna-kan simbol. Pada contoh di atas, simbol yang digunakan adalah dengan menulis temuan dari praktek – 5 + 3 = – 2.
Siswa 'mengalami' menekankan bahwa untuk memahami konsep matematika secara sempurna, siswa harus mengkonstruksi sendiri pemahamannya melalui kolaborasi dalam kelompok belajar dan sharing dengan teman sebaya atau teman sekelasnya. Pentingnya kolaborasi (kerjasama dalam kelompok), dijelaskan oleh Johnson (2006:72) "Dengan bekerja sama, para siswa terbantu dalam menemukan persoalan, merancang rencana, dan mencari pemecahan masalah". Pada bagian lain Johnson (2006:164) menjelaskan "Kerja sama dapat menghilangkan hambatan mental akibat terbatasnya pengalaman dan cara pandang yang sempit"
Uraian di atas menunjukkan suatu cara atau strategi dalam aktivitas pembelajaran agar siswa aktif fisik dan mentalnya dan sekaligus menyenangkan. Selanjutnya As'ari (2006:21) menjelaskan, agar siswa aktif, hendaknya (a) guru bersahabat dan bersikap terbuka, (b) guru mengajukan pertanyaan yang mengundang banyak jawaban siswa (c) guru memberikan umpan balik yang meningkatkan harga diri positif siswa, (d) guru merespon dan menghargai semua pendapat siswa, dan (e) guru secara aktif memfasilitasi siswa. Agar siswa kreatif, maka (a) guru menciptakan lingkungan belajar yang kreatif, (b) guru meminta siswa untuk menghasilkan karya atau menuangkan kreativitas, dan (c) guru menghargai dan memamerkan hasil karya semua siswa. Agar pembelajaran efektif, hendaknya (a) guru memperhatikan efisiensi waktu, (b) guru mengakomodasi gaya belajar audio, visual dan kinestetik, (c) guru memberikan tugas-tugas dengan panduan yang jelas, (d) guru memanfaatkan sumber belajar dan media pembelajaran dengan tepat, (e) guru mengelola kelas dengan baik, dan (f) kelas memiliki aturan main dan kesepakatan. Agar pembelajaran menyenangkan, maka (a) guru tampil dengan semangat, antusias dan gembira, (b) guru menciptakan suasana pembelajaran yang kondusif, dan (c) pembelajaran menyertakan humor.
Khusus mengenai berfikir kreatif, menurut Johnson (2006: 214 – 215) adalah sebuah kebiasaan dari fikiran yang dilatih dengan mengikut sertakan intuisi, menghidupkan imajinasi, mengungkapkan kemungkinan-kemungkinan baru, membuka sudut pandang yang menakjubkan, dan membangkitkan ide-ide yang tidak terduga. Berfikir kreatif merupakan aktifitas mental yang mencakup :
(1) Mengajukan pertanyaan,
(2) Mempertimbangkan informasi dan ide baru dengan cara yang luwes,
(3) Menemukan keterkaitan khususnya antara pendapat-pendapat yang berbeda,
(4) Mengaitkan berbagai hal dengan bebas,
(5) Menerapkan imaginasi pada semua situasi untuk menghasilkan sesuatu yang baru dan berbeda, dan
(6) Mendengarkan instuisi.
Dalam pelaksanaan pembelajaran yang PAKEM, guru perlu memperhatikan hal-hal berikut (Depdiknas, 2004: 15) :
(1) Memahami sifat siswa,
(2) Mengenal siswa secara individual,
(3) Memanfaatkan prilaku siswa dalam pengorganisasian belajar,
(4) Mengembangkan kemampuan berfikir kritis, kreatif, dan kemampuan memecahkan masalah,
(5) Mengembangkan ruang kelas sebagai lingkungan belajar yang menarik,
(6) Memanfaatkan lingkungan sebagai sumber balajar,
(7) Memberikan feedback yang adil, dan
(8) Membedakan antara keaktifan fisik dan mental.
B. LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARANNYA
Kurikulum KTSP menempatkan materi operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat di SD kelas IV semester 2, dan pengembangannya dilanjutkan di kelas V dan VI, dengan Standar Kompetensi (SK) nya sebagai berikut.
(1) Menjumlahkan dan mengurangkan bilangan bulat
(2) Melakukan operasi hitung bilangan bulat dalam pemecahan masalah
Berikut ini disajikan contoh langkah kegiatan inti***) pembelajaran bilangan bulat yang prakteknya dilaksanakan oleh siswa dengan bimbingan guru.
1. Penjumlahan
(a) Andaikan yang akan dijumlahkan adalah 7 + (- 9) = . . .
Semua siswa secara individual atau kelompok mempraktekkan seperti yang dilakukan (diperagakan) guru di depan kelas.
Semua siswa meletakkan 7 lembar karton persegi putih di atas mejanya masing-masing, dilanjutkan dengan meletakkan 9 lembar karton merah di sampingnya.
Semua siswa menindih karton persegi positif dengan karton persegi negatif sebagai berikut.
Gambar 6
Kepada siswa sudah dijelaskan sebelumnya bahwa yang ditindih nilainya nol. Ternyata yang tidak tertindih ada dua karton merah, sehingga nilainya – 2. Dengan demikian 7+(- 9) = -2.
(b) Hitunglah - 3 + 8 = . . .
Semua siswa secara individual atau kelompok mempraktekkan seperti yang dilakukan (diperagakan) guru di depan kelas.
Semua siswa meletakkan 3 lembar karton persegi merah di atas mejanya masing-masing, dilanjutkan dengan meletakkan 8 lembar karton putih di sampingnya.
Gambar 7
Semua siswa menindih karton persegi positif dengan karton persegi negatif sebagai berikut.
Gambar 8
Kepada siswa sudah dijelaskan sebelumnya bahwa yang ditindih nilainya nol. Ternyata yang tidak tertindih ada lima karton persegi putih, sehingga nilainya 5. Dengan demikian -3+8 = 5.
2. Pengurangan
Pengurangan dijelaskan dengan dua cara. Cara pertama dengan cara mengambil karton persegi (positif atau negatif, sesuai dengan soal), dan cara kedua dengan cara menambah dengan lawan (invers aditif) bilangan yang dikurangi. Invers aditif bilangan bulat harus sudah dijelaskan sebelumnya, yaitu :
1 inversnya – 1, dan 1 + (– 1) = 0
10 inversnya – 10, dan 10 + (– 10) = 0
– 20 inversnya 20, dan – 20 + 20 = 0
0 tidak mempunyai invers.
Contoh.
(a) Hitunglah – 5 – (– 4) = . . .
Semua siswa secara individual atau kelompok mempraktekkan seperti yang dilakukan (diperagakan) guru di depan kelas.
Semua siswa meletakkan 5 lembar karton persegi merah di atas mejanya masing-masing.
Gambar 9
Semua siswa mengambil empat lembar karton persegi negatif (karena dikurang dengan –4) sebagai berikut.
Yang di bawah ini karton yang diambil di atas dan dipindahkan ketempat lain.
Gambar 10
Ternyata yang tinggal (sisa) satu karton merah. Sehingga – 5 – (– 4) = – 1.
(b) Hitunglah 3 – (– 6) = . . .
Semua siswa meletakkan 3 lembar karton persegi putih di atas mejanya masing-masing, kemudian siswa diminta mengambil 6 karton negatif.
Gambar 11
Karena tidak ada karton negatif yang akan diambil, harus disediakan 6 pasangan karton (karton positif dan negatif yang ditindih, sebanyak yang akan diambil/dalam kurung), sebagai berikut.
Gambar 12
Semua siswa mengambil 6 lembar karton persegi negatif, sehingga yang tertinggal (sisanya) sebagai berikut.
Gambar 13
Ternyata yang tinggal (sisa) sembilan karton putih. Sehingga 3 – (– 6) = 9.
(c) Hitunglah – 2 – (– 7) = . . .
Semua siswa meletakkan 2 lembar karton persegi merah di atas mejanya masing-masing, kemudian siswa diminta mengambil 7 karton merah.
Gambar 14
Karena tidak cukup karton merah yang akan diambil, harus disediakan 7 pasangan karton (karton positif dan negatif yang ditindih, sebanyak yang akan diambil/dalam kurung), sebagai berikut.
Gambar 15
Semua siswa mengambil 7 lembar karton persegi negatif, sehingga yang tertinggal (sisanya) sebagai berikut.
Gambar 16
Ternyata yang tinggal (sisa) nya 5 lembar karton putih, dan dua pasangan yang tertindih. Karena yang tertindih nilainya nol, maka nilai setelah proses pengambilan adalah 5. Sehingga – 2 – (– 7) = 5.
3. Perkalian
Siswa dapat menemukan sendiri melalui praktek hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif (semua siswa mempraktekkannya dengan bimbingan guru).
(a) (b) (c)
(d)
Gambar 17
Susunan karton pada gambar 17(a) menunjukkan 2 x (– 1) dan ternyata nilainya – 2; susunan karton pada gambar 17(b) menunjukkan 2 x (– 2) dan ternyata nilainya – 4; susunan karton pada gambar 17(c) menunjukkan 2 x (– 3) dan ternyata nilainya – 6; dan susunan karton pada gambar 17(d) menunjukkan 2 x (– 4) dan ternyata nilainya – 8. Dari percobaan di atas diperoleh sebagai berikut.
2 x (– 1) = – 2
2 x (– 2) = – 4
2 x (– 3) = – 6
2 x (– 4) = – 8
Jadi, bilangan bulat positif dikali dengan bilangan bulat negatif, hasilnya bilangan bulat negatif.
De Walle (1990 : 350) memberi makna tentang perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif dengan istilah "mengambil yang positif dari nol". -2 x 2 berarti ambil 2 duaan yang positif dari nol; -2 x 3 berarti ambil 2 tigaan yang positif dari nol.
(a)
(b)
Gambar 18
Susunan karton di atas keduanya bernilai nol. Pada gambar 18(a), ambil 2 duaan yang positif sehingga hasilnya seperti gambar 19(a) yaitu – 4; dan pada gambar 19(b) ambil 3 duaan yang positif sehingga hasilnya seperti ganbar 19(b) yaitu – 6.
(a)
(b)
Gambar 19
Dengan cara yang sama untuk - 3 x 4, ambillah 3 buah empatan yang positif, sehingga hasilnya – 12, seperti pada gambar 20
Hasil -3 x 4 setelah diambil
3 buah empatan yang positif.
Gambar 20
Percobaan di atas yang dilaksanakan oleh siswa dengan bimbingan guru, dapat ditulis kembali sebagai berikut.
- 2 x 2 = - 4
- 2 x 3 = - 6
- 3 x 4 = - 12, dst
Nampak bahwa bilangan bulat negatif dikali dengan bilangan bulat positif hasilnya bilangan bulat negatif.
Makna perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif adalah "mengambil yang negatif dari nol". -2 x -2 berarti ambil 2 duaan yang negatif dari nol; -2 x -3 berarti ambil 2 tigaan yang negatif dari nol.
(a)
(b)
Gambar 21
Pada gambar 21(a), ambil 2 duaan yang negatif sehingga hasilnya seperti gambar 22(a) yaitu 4; dan pada gambar 21(b) ambil 3 duaan yang negatif sehingga hasilnya seperti ganbar 22(b) yaitu 6.
(a)
(b)
Gambar 22
Dengan cara yang sama untuk - 3 x -4, ambillah 3 buah empatan yang negatif, sehingga hasilnya 12, seperti pada gambar 23.
Hasil -3 x -4 setelah diambil 3 buah empatan yang negatif.
Gambar 23
Percobaan di atas yang dilaksanakan oleh siswa dengan bimbingan guru, dapat ditulis kembali sebagai berikut.
- 2 x -2 = 4
- 2 x -3 = 6
- 3 x -4 = 12, dst
Nampak bahwa bilangan bulat negatif dikali dengan bilangan bulat negatif hasilnya bilangan bulat positif.
Sekarang perhatikan pola perkalian berikut.
4 x –2 = – 8
3 x –2 = – 6
2 x –2 = – 4
1 x –2 = – 2
Hasilnya selalu ditambah dengan –2, sehingga kalau polanya diteruskan lagi diperoleh :
4 x –2 = – 8
3 x –2 = – 6
2 x –2 = – 4
1 x –2 = – 2
0 x –2 = 0
–1 x –2 = 2
–2 x –2 = 4
–3 x –2 = 6
......................
......................
Pola di atas menunjukkan juga bahwa bilangan bulat negatif dikali dengan bilangan bulat negatif hasilnya bilangan bulat positif.
4. Pembagian
Pembagian dapat dipandang sebagi kebalikan dari perkalian. Misalnya :
4 x 2 = 8, dapat ditulis 8 : 2 = 4.
- 4 x 2 = - 8, dapat ditulis (-8) : 2 = - 4.
4 x (-2) = - 8, dapat ditulis (-8) : (-2) = 4.
- 4 x (-2) = 8, dapat ditulis 8 : (-2) = - 4.
Dari contoh-contoh tersebut dan pola perkalian di atas, diharapkan siswa dapat mengambil kesimpulan tentang pembagian dua bilangan bulat.
Untuk mendisain pembelajaran yang PAKEM yang memenuhi hakekat PAKEM seperti disebutkan di atas, perlu persiapan media dan sumber belajar serta asesmennya.
Ada beberapa hal yang perlu diperiksa pencapaiannya, yaitu:
1. Cara menggunakan benda kongkret dalam proses operasi bilangan bulat.
2. Kreativitas dalam aktivitas dalam penggunaan benda kongkret, dan
3. Strategi menggunakan benda kongkret untuk menerapkan sifat operasi bilangan bulat dalam komputasi mental.
III. PENUTUP
A. Simpulan
Dengan mengimplementasikan pendekatan PAKEM, guru memberikan kesempatan kepada siswa dengan pelaksanaannya berbentuk acted-out mathematics yang memungkinkan siswa berpartisipasi dan bekerja sehingga dapat mengembangkan ide-ide matematika, dan akhirnya diharapkan mereka menemukan konsep perkalian bilangan bulat.
B. Saran
Berdasarkan uraian dan simpulan di atas, diajukan beberapa saran berikut.
(1) Pendekatan pembelajaran matematika secara konvensional yang menuntut siswa menghafal aksioma, definisi, teorema, serta prosedur penggunaan teorema tersebut, sudah saatnya diminimalkan, dan diganti dengan strategi dan pendekatan yang dapat mengarahkan siswa menjadi aktif, kreatif, efektif, dan menyenangkan.
(2) Pembelajaran operasi bilangan bulat dapat dilaksanakan dalam bentuk acted-out mathematics dengan menggunakan benda kongkret (misalnya karton persegi dengan dua warna merah dan putih), sehingga memberikan kesempatan kepada siswa untuk menemukan (re-invent) konsepnya melalui praktek (do-it). Untuk ini, diharapkan para guru SD dapat melaksanakan pembelajarannya melalui pendekatan PAKEM.
DAFTAR RUJUKAN
As'ari, A. R. 2006. Hand Out Workshop PAKEM (tidak diterbitkan)
Depdiknas. 2004. "Hakekat Kurikulum, Pengembangan Silabi, dan Rencana Pembelajaran", dalam Materi Pelatihan Terintegrasi, Buku Matematika 3. Jakarta
Depdiknas. 2004. "Model-Model Pembelajaran Matematika", dalam Materi Pelatihan Terintegrasi, Buku Matematika 3. Jakarta
De Walle, John A. Van. Elementary School Mathematics : Teaching Developmentally. New York: Longman
Johnson, Elaine B. 2006. Contextual Teaching and Learning : What It Is and Why It's Here to Stay. California : Corwin Press, Inc.
Reys, Robert E., et. al. 1998. Helping Children Learn Mathematics. Boston, dll : Allyn and Bacon
No comments:
Post a Comment